Hola, sigo sin entenderte. Lo primero que no entiendo es cómo creas 4 label con un solo new. Lo lógico es usar una sentencia new para cada uno de los label (escribe el código que usas).En segundo lugar no entiendo la necesidad de crearlos dinámicamente, más bien veo un problema pues si haces referencia a ellos antes de haberlos creado te generará un error.
Respondiendo puramente a tu pregunta (que ya ves que no entiendo bien) deberías escribir
new_label->Caption = Button1->Caption;
dentro del evento onClick del Button1, de forma que se produzca la asignación cuando pulsas el botón.
Si me mandas el código con la creación de los TLabel dinámicos puede que adelantemos algo. También si me mandas una justificación de porqué los creas dinámicamente, porque podrías crearlos en modo diseño y no poner nada en la propiedad Caption, de esta forma parece que no existen hasta que no pulsas el botón correspondiente que los "rellene".